Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Bill Gates wirft Münzen
Benjamin
16.04.2009, 20:28
So, nachdem ich das Problem schon mal kurz im Hauptquasselthread angedeutet hatte, möchte ich euch doch noch die eigentliche Aufgabe vorstellen; vielleicht interessiert sie ja doch den ein oder anderen.
Bill Gates spielt folgendes Spiel: Er setzt einen Dollar seines Vermögens und wirft dann eine Münze. Gewinnt er, so erhält er 2 Dollar zurück. Verliert er, so wirft er die Münze nochmals und setzt diesmal 2 Dollar. Verliert er wieder, so setzt er 4 Dollar, dann 8, dann 16 usw., also immer das Doppelte.
Das bedeutet: Wenn er nur irgendwann einmal gewinnt, so ist der Gewinn so hoch, dass sämtliche Verluste wieder ausgeglichen werden und er insgesamt sogar noch einen Gewinn von einem Dollar macht - es sei denn, er hat einmal eine so lange Verlustserie, dass er sein ganzes Vermögen verliert und pleite geht, bzw. eine sol lange Verlustserie, dass er seinen Einsatz nicht mehr verdoppeln kann.
Bill hört nun aber keineswegs auf, nachdem er den ersten Dollar gewonnen hat, sondern er spielt immer, immer weiter.
Die Frage ist nun: Geht er auf diese Weise irgendwann mit Sicherheit pleite?
Geht er auch dann pleite, wenn die Münze so verbeult ist, dass er mit einer wesentlich größeren Wahrscheinlichkeit als 50 % eine Runde gewinnt?
Ich bin gespannt auf eure Meinungen.
Puuh, ausgerechnet Wahrscheinlichkeiten. Als ob mir nicht Stochastik schon das Matheabi versaut hätte... (auch wenn versaut zugegeben ein relativer Begriff ist)
Heißt denn pleite gehen, dass er kein Geld mehr hat, oder dass er nicht mehr setzen kann? Und was heißt "mit Sicherheit"?
Benjamin
17.04.2009, 20:10
Im Prinzip heißt "pleite gehen" hier, dass er nicht mehr setzen kann, also dass er seine bisherige Strategie nicht mehr verfolgen kann. Angenommen er hätte zu Beginn 10 Euro und verliert dann dreimal (er hat dann 1, 2 und 4 Euro gesetzt). Er müsste dann ja gemäß seiner Strategie 8 Euro setzen - so viel hat er aber nicht mehr. Das ist gemeint.
"Mit Sicherheit" heißt strenggenommen hier, dass die Wahrscheinlichkeit, pleite zu gehen gegen 1 geht, wenn die Zahl der Münzwürfe gegen unendlich geht.
Ja er geht irgendwann pleite, weils halt so ist.
Im Prinzip heißt "pleite gehen" hier, dass er nicht mehr setzen kann, also dass er seine bisherige Strategie nicht mehr verfolgen kann. Angenommen er hätte zu Beginn 10 Euro und verliert dann dreimal (er hat dann 1, 2 und 4 Euro gesetzt). Er müsste dann ja gemäß seiner Strategie 8 Euro setzen - so viel hat er aber nicht mehr. Das ist gemeint.
"Mit Sicherheit" heißt strenggenommen hier, dass die Wahrscheinlichkeit, pleite zu gehen gegen 1 geht, wenn die Zahl der Münzwürfe gegen unendlich geht.
Ok, dann hab ich mir das richtig gedacht. Aber ein mathematischer Beweis ist von dir nicht gefragt oder? Ich hatte seit 9 Jahren kein Mathe mehr, mir sind alle Formeln abhanden gekommen.
Benjamin
17.04.2009, 20:25
Nee, um einen Beweis ging es mir nicht, ich wollte nur mal hören, was ihr so intuitiv denkt. Wenn jemand einen findet - um so besser. :)
Nö, mit einem formalen mathematischen Beweis kann ich nicht dienen. Dafür hätte ich das Fach dann nach dem Abi wohl doch noch mal an der Uni haben müssen. In der Schule lernt man das ja nicht (oder im Süden vielleicht doch?). Und selbst wenn, nach der langen Zeit wäre es sicher weg.
:topsecret: Lieg ich denn wenigstens richtig?
Benjamin
17.04.2009, 20:34
Ach, du warst das - ich dachte, Mario wäre es gewesen, weil er sich im Thread ja auch so geäuert hat. Schließlich hab' ich die Umfrage absichtlich nichtöffentlich gemacht, damit sich ein paar Leute mehr trauen.
Deswegen verrate ich auch noch nichts. ;)
Och Mennoo. Dann muss ich mich wohl gedulden.
Stochastik ist böse, die macht immer Knoten im Gehirn! :donk:
Und weil ich gestern keine Antwort mehr bekommen habe, konnte ich die halbe Nacht nicht schlafen. Dabei bin ich doch schon seit einer Woche völlig übermüdet :sauer:
Aber jetzt hab ich's raus, glaub ich. Oder auch nicht, weil bei Wahrscheinlichkeiten weiß man's nie :hmpf:
Paulinsche
18.04.2009, 22:47
Wenn er mehrere Mal hintereinander gewinnt, wie viel setzt er dann? Immer einen Dollar?
Nein, die Einsätze sind gleich, egal ob er gewinnt oder verliert. Also, er setzt in der 1. Runde einen Dollar, in der 2. Runde 2 Dollar, in der 3. Runde 4 und immer so weiter. Und entsprechend hoch ist auch sein Gewinn oder sein Verlust.
Benjamin
19.04.2009, 00:32
Doch. Sobald er einmal gewonnen hat, beginnt eine neue Serie, bei der er zu Anfang wieder einen Dollar setzt.
Wenn er also mehrmals hintereinander gewinnt, dann setzt er jedesmal einen Dollar. Verdoppelt wird nur, falls er verliert, weil er ja dann den Verlust wieder ausgleichen will.
*wirr* das wird ja immer komplizierter.
Benjamin
19.04.2009, 00:55
Hm, dabei dachte ich eigentlich, ich hätte es einigermaßen verständlich erklärt... aber bei genauenm Durchlesen... naja, also nochmal:
Ein Spiel besteht immer aus mehreren Münzwürfen, und zwar immer aus so vielen, wie er braucht, um wenigstens einmal zu gewinnen (wenn er sofort gewinnt, besteht es natürlich nur aus einem Münzwurf). Innerhalb eines Spiels setzt er zunächst einen Dollar und verdoppelt, wenn er verliert. Auf diese Weise gewinnt er in jedem Spiel insgesamt genau einen Dollar - es sei denn, er verliert so oft am Stück, dass er pleite ist.
Er hört aber nie auf zu spielen, wenn ein Spiel vorbei ist, beginnt das nächste.
Angenommen, sein Vermögen beträgt am Anfang genau 1000 $. Dann könnte das etwa so aussehen:
1. Spiel
Er setzt 1 $ und verliert => Vermögen = 999 $
Er setzt 2 $ und verliert => Vermögen = 997 $
Er setzt 4 $ und verliert => Vermögen = 993 $
Er setzt 8 $ und gewinnt => Vermögen = 1001 $
2. Spiel
Er setzt 1 $ und gewinnt => Vermögen = 1002 $
3. Spiel
Er setzt 1 $ und verliert => Vermögen = 1001 $
Er setzt 2 $ und gewinnt => Vermögen = 1003 $
4. Spiel
Er setzt 1 $ und verliert => Vermögen = 1002 $
Er setzt 2 $ und verliert => Vermögen = 1000 $
Er setzt 4 $ und gewinnt => Vermögen = 1004 $
usw.
Das Entscheidende ist eben, dass er bei jedem Spiel genau einen Dollar gewinnt, egal wie oft er innerhalb des einen Spiels verloren hat - es sei denn, er verliert wirklich so oft, dass er pleite geht. Damit das passiert, müsste er bei einem Vermögen von einer Milliarde Dollar (und der Mann hat sogar noch mehr) fast 30 mal in Folge verlieren. Das klingt ja zunächst sogar bei einer faiern Münze recht unwahrscheinlich... erst recht bei einer für ihn günstigen Münze.
Hinzu kommt, dass er ja immer reicher wird, je länger er spielt (ohne pleite zu gehen) - das heißt mit zunehmender Zeit kann er sich sogar immer längere Serien von Niederlagen leisten.
Dennoch bleibt die Frage: Geht er trotzdem irgendwann pleite, wenn er immer weiter spielt?
Gut, nun ist es durchschaut. Vielen Dank für die Klärungen! Aber nun raubt es mir bestimmt noch eine Nacht den Schlaf :(
Hm, ich denke dassa nicht pleite gehen kann. erläutern oder so kann ich es nicht, ist einfach ein bauchgefühl.
Benjamin
19.04.2009, 01:01
Hehe, ja, so ist es noch ein bisschen komplizierter. :D:
Du hast den Einsatz quasi bei jedem einzelnen Wurf verdoppelt? Dafür ist deine Überlegung auch richtig - denn dann werden die Einsätze ja rasch riesengroß - und es reicht dann unter Umständen bereits eine einzige Niederlage, damit er nicht mehr genügend Geld hat, um diese Strategie weiter zu verfolgen.
Ja, ich hatte beim ersten Mal die Einsätze immer verdoppelt. Aber gut zu hören, dass ich dann Recht gehabt hätte. Ich war mir nicht sicher. Stochastik verwirrt mich immer.
Nun darf ich noch einmal von vorne anfangen und auch noch komplizierter. Das ist gemein! :sauer: Wenn ich wieder nicht schlafen kann, musst du mir morgen ganz viel Kaffee kochen ;)
Benjamin
19.04.2009, 01:14
Wenn es reicht, wenn ich Kaffeebilder poste - dann gerne. ;)
Ja, das reicht. Vorbeibringen wäre sicher etwas umständlich ;)
Benjamin
19.04.2009, 01:54
Also gut: Probieren wir's mal...
Och, ich würd' dir den Kaffee auch vorbei bringen... aber ich weiß leider deine Adresse nicht. ;)
:) Oh, das ist aber lieb, so viel Aufwand nur für mich. Aber bevor ich einen fremden Mann in meine Wohnung lasse, müsste ich ihn eigentlich ein wenig kennen lernen
Benjamin
19.04.2009, 02:05
Ich bin sicher, wir schreiben uns hier noch ab und zu - und vielleicht sehen wir uns ja mal bei einem Springen... willst du nicht doch zu irgendwelchen Springen fahren diesen Sommer?
Ja, ich könnte mir das mit den Sommerspringen noch einmal überlegen. Wenn man da nette Leute trifft, macht es auch Spaß. Allein wäre blöd gewesen. Ich bin nur immer so unmotiviert, mir unter allen möglichen Unterkünften die passende zu suchen. Mein Pfingsturlaub wird auch daran scheitern :(
Benjamin
19.04.2009, 02:14
Das stimmt... ich habe ja das Glück, dass ich zumindest in Hinterzarten nicht übernachten muss - das geht auch an einem Tag hin und zurück.
Welch ein Luxus! Aber ich habe mich den Schanzen auch immer weiter angenähert, vom hohen Norden an den Main. Wer weiß, wohin es mich noch verschlägt. Vielleicht ist irgendwann einmal eine Schanze gleich vor Ort.
Benjamin
19.04.2009, 02:24
Hm, da hast du zwischendurch ja Willingen überholt.
Dir sag' ich hier auch nochmal extra Gute Nacht! :)
Das hab ich tatsächlich.
Oh, danke! Schlaf gut!
*gähn* Ob man sich an Schlafmangel gewöhnen kann? Mir fällt auf, wir fangen an, diesen netten Mathe-Thread zu entfremden. Jetzt bringe ich dich schon von deiner Vorbildfunktion als Admin ab, Threads ihrem Thema entsprechend zu nutzen :schaem:
Vielleicht besser zurück zu Mathe? Ich hab bei meiner falschen Interpretation des Spiels (also wenn sich der Einsatz immer verdoppelt) zwei verschiedene Lösungen raus und weiß nicht, welche richtig ist. Stochastik verwirrt mich immer :(
Das Rätseln an der richtigen Variante muss ich zurückstellen. Ich bin zu müde zum Denken. Und ich sollte mich mal meinem eigenen Fach zuwenden, sonst wird der Termin in der nächsten Woche richtig peinlich *seufz*
Und wieso sind da oben 5 Balken für 4 Fragen? *wirr*
Benjamin
21.04.2009, 17:04
Poste sie ruhig mal - ich sag' dann was dazu. :)
Das ist eine Umfrage mit Mehrfachauswahl - weil ich so quasi zwei Fragen auf einmal unterbringen konnte. Oben ist gefragt, ob er bei einer idealen Münze pleite geht - unten ist gefragt, ob er auch bei einer für ihn beliebig positiven Münze pleite geht. Beide können mit ja oder nein beantwortet werden. Der Strich in der Mitte ist bloß dazu da, um das Ganze optisch zu trennen.
Der sollte nicht angekreuzt werden. ;)
Der Strich in der Mitte ..... sollte nicht angekreuzt werden
Bitte melden (gerne auch per Pn) , wer das war :up: :party:
Ich hab einen leisen Verdacht :)
Poste sie ruhig mal - ich sag' dann was dazu. :)
Das ist eine Umfrage mit Mehrfachauswahl - weil ich so quasi zwei Fragen auf einmal unterbringen konnte. Oben ist gefragt, ob er bei einer idealen Münze pleite geht - unten ist gefragt, ob er auch bei einer für ihn beliebig positiven Münze pleite geht. Beide können mit ja oder nein beantwortet werden. Der Strich in der Mitte ist bloß dazu da, um das Ganze optisch zu trennen.
Der sollte nicht angekreuzt werden. ;)
Ok, dann hat da wer was falsch angekreuzt. Aber wonach, bitte schön, errechnet die Graphik die Prozentwerte?
Und hier meine beiden, völlig unmathematisch dargestellten, Lösungsmöglichkeiten. Bei Unklarheiten einfach nachfragen.
Die erste Lösung geht davon aus, dass die Zahl der möglichen Spielverläufe unendlich groß wird, wenn Gates unendlich oft weiterspielt. Da der Einsatz sich immer weiter verdoppelt, kommt er bald an den Punkt, an dem er im Falle eines Verlustes so wenig Geld übrig hat, dass er nicht mehr setzen kann. Wenn er diesen Punkt erreicht hat, bedeutet folglich jede Niederlage, dass das Spiel zu Ende ist, wenn er dagegen gewinnt, kann er weiterspielen. Ich hab nun beobachtet (ja, ich musste das mit Ausprobieren machen, weil ich zu lange kein Mathe mehr hatte, um die Formeln noch parat zu haben), dass die Zahl der Spielverläufe, in denen er immer weiter gewinnt, nach dem Überschreiten des Zeitpunktes, ab dem jede Niederlage ein Spielende bedeutet, konstant bleibt. Und verglichen mit den unendlich vielen Spielmöglichkeiten, ist diese konstante Zahl gewonnener Spiele natürlich verschwindend gering, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass er verliert, gegen 1 geht. Und dabei macht es keinen Unterschied, ob die Münze verbeult ist oder nicht, weil dann zwar die Konstante größer wäre, aber immer noch viel kleiner als unendlich.
Aber dann habe ich mich gefragt, ob die Zahl möglicher Spielverläufe überhaupt unendlich groß wird. Denn wenn er ein Spiel verliert, weil er nicht mehr setzen kann, ist es ja zu ende. Das heißt, wenn ich das Spiel in einem Baumdiagramm zeichnen würde, würden alle Pfade, in denen ein Spiel verloren wurde, nicht mehr weitergehen. Wenn nun Gates in den Bereich kommt, in dem er anfängt, einzelne Spiele zu verlieren, weil er nicht mehr setzen kann, dann bleibt die Zahl der Spiele, die noch weitergehen, wieder konstant. Und von da an hat er eine Chance von 50:50, dass er im Spiel bleibt. Man könnte also nicht mit Sicherheit sagen, dass er pleite geht. Und wenn die Münze zu seinen Gunsten verbeult ist, stehen seine Chancen sogar noch besser.
Benjamin
21.04.2009, 18:19
Ok, dann hat da wer was falsch angekreuzt. Aber wonach, bitte schön, errechnet die Graphik die Prozentwerte?
Es ist wie gesagt eine Umfrage mit Mehrfachauswahl: Jeder kann also beliebig viele Optionen ankreuzen. Der Prozentwert gibt also einfach an, wie viel Prozent aller Umfragenteilnehmer diesen bestimmten Punkt angekreuzt haben. Deswegen kann die Summe natürlich auch größer als 100 % sein.
Übrigens hat bis jetzt auch kaum jemand die Mehrfachauswahl bemerkt - nur einer hat bislang mehr als einen Punkt angekreuzt.
Ansonsten: Die erste Lösung ist völlig korrekt - denn es gibt wirklich unendlich viele mögliche Spielverläufe, da er ja theoretisch beliebig oft gewinnen und dann einmal verlieren kann.
Es ist wie gesagt eine Umfrage mit Mehrfachauswahl: Jeder kann also beliebig viele Optionen ankreuzen. Der Prozentwert gibt also einfach an, wie viel Prozent aller Umfragenteilnehmer diesen bestimmten Punkt angekreuzt haben. Deswegen kann die Summe natürlich auch größer als 100 % sein.
Übrigens hat bis jetzt auch kaum jemand die Mehrfachauswahl bemerkt - nur einer hat bislang mehr als einen Punkt angekreuzt.
Ansonsten: Die erste Lösung ist völlig korrekt - denn es gibt wirklich unendlich viele mögliche Spielverläufe, da er ja theoretisch beliebig oft gewinnen und dann einmal verlieren kann.
Ah, nun verstehe ich die Prozentzahlen. Aber es sind doch 2 Fragen, da ist doch logisch, dass ich 2 Kreuze mache :ueberleg: Egal.
Gut, wenn die erste Lösung stimmt, habe ich mich nur wieder im Nachhinein selbst verwirrt. Ich glaube, ich lasse mich einfach zu sehr davon verrückt machen, dass es Stochastik ist. Ich sollte mir einen Therapeuten suchen, um mein Stochastik-Matheabi-Trauma aufzuarbeiten :hmpf:
Benjamin
25.03.2010, 15:00
Verflixt, ich hatte damals ja die Lösung gar nicht mehr gepostet:
Mir hat das Problem keine Ruhe gelassen... ich habe ein bisschen gerechnet und inzwischen doch einen - wie ich meine - hieb- und stichfesten Beweis dafür gefunden, dass er auf jeden Fall irgendwann pleite sein wird, und zwar:
- unabhängig von seinem Startvermögen und
- unabhängig davon, wie gut seine Gewinnchance bei der Münze ist.
Ich will das Ganze zunächst mal anhand eines konkreten Beispiels durchrechnen.
Angenommen, Bills Startkapital beträgt exakt
K1 = 2^35 - 1 Dollar.
Um die Sache etwas zu vereinfachen, setzt er bei mir am Anfang nicht 5 $ sondern nur 1 $ - das ändert aber an der Überlegung nichts.
Ein Spiel bestehe nun aus einer Serie von Münzwürfen - und zwar ist die Serie immer so lang, bis Bill einmal gewinnt, oder bis er eben pleite ist. Pleite geht Bill am Anfang nur, wenn er insgesamt 35 mal in Folge verliert (streng genommen ist er dann noch nicht ganz pleite, aber er kann dann seiner ursprünglichen Strategie, seinen Einsatz immer zu verdoppeln, nicht mehr folgen)
Rechnen wir das Ganze zu Beginn mit einer idealen Münze durch, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf zu verlieren, beträgt 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit, 35 mal in Folge zu verlieren, beträgt dann (1/2)^35.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Serie und damit einen Dollar zu gewinnen, beträgt dann 1 - (1/2)^35.
Nun hatten wir des Weiteren festgestellt, dass Bill sich, je größer sein Vermögen wird, immer längere Serien von Niederlagen leisten kann. Aber wann spielt das nun wirklich erstmals eine Rolle. Nun, Bill kann sich frühestens dann eine 36. Niederlage leisten, wenn sein Vermögen auf K2 = 2^36 - 1 $ angewachsen ist. Da er bei jedem Spiel aber nur einen Dollar gewinnt, muss er insgesamt 2^35 Spiele gewinnen, um diese Kapitalstufe zu erreichen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er das schafft, beträgt dann also (1 - (1/2)^35)^(2^35) = 36,9 %
Wenn er bis hierhin gekommen ist, kann er sich also noch eine geringfügig längere Niederlagenserie leisten - das ändert sich wieder so lange nicht, bis er ein Kapital K3 = 2^37 - 1 $ besitzt - er muss nun also sogar 2^36 Spiele gewinnen, bis es so weit ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er das schafft, beträgt dann also (1 - (1/2)^36)^(2^36) = 38,2 %
Bei den genauen Werten traue ich meinem Taschenrechner nicht mehr so ganz, es kann sein, dass sich hier bereits Rundungsfehler eingeschlichen haben - aber das ist nicht wichtig, denn spätestens hier merkt man, wie sich das ganze fortsetzt. Die Wahrscheinlichkeitswerte haben nämlich alle die Form
(1 - 1/n)^n,
und für wachsendes n geht dieser Term gegen 1/e = 0,368.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er niemals eine ausreichend lange Niederlagenserie erlebt, durch die er pleite geht, ist aber das Produkt aus all diesen Wahrscheinlichkeiten - und da die aber alle kleiner sind als 1 und sich der 1 auch nicht nähern, ist dieses Produkt Null. Im Klartext: Irgendwann wird er bei einer idealen Münze pleite gehen. Das war aber auch nicht anders zu erwarten.
Wie ändert sich das Ganze nun, wenn Bill eine Münze verwendet, mit der er nur mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 verliert? Der einzige Unterschied besteht dann darin, dass die ganzen Wahrscheinlichkeitswerte, die wir multiplizieren müssen, nicht mehr die Form (1 - 1/n)^n haben sondern die Form
(1 - 1/(2n))^n
Das lässt sich aber umformen in
Wurzel((1 - 1/(2n))^2n),
d.h. der Grenzwert lautet nun nicht mehr 1/e sondern Wurzel(1/e) = 0,601. Das ist zwar mehr als vorher, aber auf jeden Fall noch kleiner als 1 - und das ändert sich auch nicht, wenn wir die Münze noch stärker zu Bills Gunsten verändern. Die einzelnen Wahrscheinlichkeitsterme gehen dann zwar irgendwann gegen eine Zahl, die nur wenig kleiner ist als 1 - aber das Produkt geht damit trotzdem immer gegen Null.
q.e.d.
blackswan
25.03.2010, 15:03
ja nee is klar!
Waah, Benjamin
Keine Zeit mehr für den Admin-Job aber dafür... :donk: ;)
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